2010年江苏卷附加题最后一题

今年是我远离高考的十年庆，连技术群都讨论起高考题。一场高考搞得满城风雨，实在让人无语。

十年过去，对原来的考试都没什么印象了，考完就把所有东西忘了，只记得考得不怎么样，英语狂差，其它还好。

后来上了大学，遇到一群朋友，一起过得很开心。

高考只是一场经历，考得好的人也有堕落的，考得一般的人也可以取得不错的成就。

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已知三角形三边a,b,c都是有理数，求证：
1）CosA 是有理数；
2）CosnA 是有理数

概念:
数学上，有理数是一个整数a和一�非零整�b的比（ratio），通常写作a/b，故又�作分�。
性质:
有理数+-*/有理数还是有理数

证明:
1)
因为
cosA=b方+c方－a方/2*b*c
a b c 是有理数
所以
cosA是有理数

2)
假设cos[(n-1)A]和cosnA是有理数时，cos[(n+1)A]也是有理数
因为
cos[(n-1)A]=cosnA*cosA-sinnA*sinA是有理数
cosnA*cosA是有理数，
所以
sinnA*sinA是有理数，
所以
cos[(n+1)A]=cosnA*cosA+sinnA*sinA是有理数，假设成立

当n=2时
因为
cos[(n-1)A]= cosA，是有理数，
cosnA= cos2A=cosA方-1，是有理数
所以
n=2时，cosA和cos2A是有理数，假设成立，cos3A是有理数。如此递推，cos2A和cos3A是有理数，假设成立，cos4A是有理数...
所以
对于任意n>=2，假设成立，cos[(n+1)A]是有理数。
又因为
cosA，cos2A是有理数
所以
对于任意n，CosnA 是有理数